El examen se deberá enviar por correo antes de las 11 PM del 6 de mayo de 2020. Se puede entregar por parejas o individualmente.

En los ejercicios de simulación, favor de definir como semilla el día y mes de nacimiento de quien resuelve el ejercicio. El script se deberá anexar al examen.

Nota. Este examen contiene al examen-tarea que estaba contemplado en la descripción del curso y que evalua el uso de herramientas de cómputo para resolver problemas de estimación.

1.

Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(Pareto(k,\theta)\), esto es:

\[f(x_i|k,\theta)=\dfrac{\theta k^{\theta}}{x^{\theta+1}}, \;\; k\le x, \;\; \theta>0.\]

  1. Encuentre las distribuciones de:

    1. \(W_i=1/X_i\)
    2. \(Z=n\theta \ln(X_{(1)}/k)\) con \(X_{(1)}=\min\{X_1,..., X_n\}\)
    3. \(Q=\theta T\) con \(T=\sum_{i=1}^{n}\ln(X_i/k)\)

  2. Suponga \(k\) conocida.

    1. A partir de a.i y usando \(F(W|\theta)\) dé una cantidad pivotal para \(\theta\) y encuentre un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\theta\).
    2. A partir de a.ii dé una cantidad pivotal para \(\theta\) y encuentre un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\theta\).
    3. A partir de a.iii dé una cantidad pivotal para \(\theta\) y encuentre un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\theta\).

  3. Suponga \(\theta\) conocida.

    1. A partir de a.i y usando \(F(W|k)\) dé una cantidad pivotal para \(k\) y encuentre un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(k\).
    2. A partir de a.ii dé una cantidad pivotal para \(k\) y encuentre un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(k\).
    3. A partir de a.iii dé una cantidad pivotal para \(k\) y encuentre un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(k\).

2.

Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(Pareto(k,\theta)\), esto es:

\[f(x_i|k,\theta)=\dfrac{\theta k^{\theta}}{x^{\theta+1}}, \;\; k\le x, \;\; \theta>0.\]

3.

Sea \(X_{1},...,X_{n_1}\) una m.a. de la distribución \(N(\mu_1,\sigma^2_1)\) y \(Y_{1},...,Y_{n_2}\) una m.a. de la distribución \(N(\mu_2,\sigma^2_2)\), ambas muestras aleatorias son independientes entre sí. Considerando las estadísticas suficientes para encontrar cantidades pivotales obtenga:

  1. Un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\mu_1-\mu_2\) asumiendo \(\sigma^2_1\) y \(\sigma^2_2\) conocidas.
  2. Un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\mu_1-\mu_2\) asumiendo \(\sigma^2_1\) y \(\sigma^2_2\) desconocidas, pero \(\sigma^2_1=\sigma^2_2\).
  3. Un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\sigma^2_1/\sigma^2_2\) asumiendo \(\mu_1\) y \(\mu_2\) conocidas.
  4. Un intervalo de confianza al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\sigma^2_1/\sigma^2_2\) asumiendo \(\mu_1\) y \(\mu_2\) desconocidas.

4.

Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(Bernoulli(p)\).

  1. Demuestre que pertenece a la familia exponencial.
  2. Calcule un intervalo de confianza al \((1-\alpha)\times 100\)% para \(p\) usando las propiedades asintóticas de los EMVs sin estimar la varianza asintótica.
  3. Calcule un intervalo de confianza al \((1-\alpha)\times 100\)% para \(p\) usando las propiedades asintóticas de los EMVs estimado la varianza asintótica.
  4. Calcule un intervalo de confianza al \((1-\alpha)\times 100\)% para \(\tau(p)=\frac{p}{1-p}\) usando las propiedades asintóticas de los EMVs estimando la varianza asintótica.
  5. Sea \(x_1,..., x_{400}\) observaciones tal que \(\sum_{i=1}^{400}x_i=136\). Calcule los intervalos de confianza al 95% para \(p\) y para \(\tau(p)\).

5.

Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(exp(1/\theta)\). Es decir \[f(x_i|\theta)=\dfrac{e^{-\frac{1}{\theta}x_i}}{\theta}, \;\; 0< x_i, \;\;\;\; 0 < \theta.\]

  1. Demuestre que pertenece a la familia exponencial.
  2. Demuestre que \(Q=\frac{2}{\theta}\sum_{i=1}^{n}X_i\) es una cantidad pivotal para \(\tau(\theta)=1/\theta\).
  3. A partir de \(Q\) encuentre el intervalo de confianza de longitud mínima al \((1- \alpha) \times\) 100% para \(\tau(\theta)=1/\theta\).
  4. Calcule un intervalo de confianza al \((1-\alpha)\times 100\)% para \(\tau(\theta)=1/\theta\) usando las propiedades asintóticas de los EMVs sin estimar la varianza asintótica.
  5. Calcule un intervalo de confianza al \((1-\alpha)\times 100\)% para \(\tau(\theta)=1/\theta\) usando las propiedades asintóticas de los EMVs estimando la varianza asintótica.
  6. Usando R realice lo siguiente suponiendo que \(\theta=5\):
    1. Genere 1000 muestras de tamaño \(n \in \{20, 100, 500\}\) de la distribución \(exp(1/\theta)\)
    2. Para cada muestra calcule los intervalos de confianza al 95% para \(\tau(\theta)=1/\theta\) encontrados en iii, iv y v.
    3. En cada caso, calcule el porcentaje de intervalos que contienen al verdadero valor de \(\tau(\theta)\). También calcule el promedio de las longitudes de los intervalos.
    4. ¿Qué efecto tiene el aumento en el tamaño de la muestra? Compare todos los resultados y comente.
  7. Sólo para la primer muestra de tamaño n=500, grafique un histograma y sobreponga en la misma gráfica la densidad de la distribución \(exp(1/\theta)\). Además, obtenga un boxplot y las estadísticas básicas: valor mínimio, primer cuartil, mediana, media, segundo cuartil y valor máximo.