Examen 3. Pruebas de hipótesis

El examen se deberá enviar por correo antes de las 11 PM del 1 de junio de 2020. Se puede entregar por parejas o individualmente.

Cuando no se especifique, considere una significancia \(\alpha\).

1.

• Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(N(\mu,\sigma^2)\).

  1. Suponga que \(\mu\) es conocida. Encuentre la prueba uniformemente más potente para contrastar: \[H_0: \sigma^2 \le \sigma^2_0 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \sigma^2 > \sigma^2_0.\]
  2. Encuentre la prueba de hipótesis asociada al cociente de verosimilitud generalizado asumiendo \(n\) grande (usando las propiedades asintóticas) para contrastar:

\[H_0: \mu=\mu_0 \quad y \quad \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \mu \neq \mu_0 \quad o \quad \sigma^2 \neq \sigma^2_0.\]

• Sea \(X_{1},...,X_{n_1}\) una m.a. de la distribución \(N(\mu_1,\sigma^2_1)\) y \(Y_{1},...,Y_{n_2}\) una m.a. de la distribución \(N(\mu_2,\sigma^2_2)\), ambas muestras aleatorias son independientes entre sí. Encuentre la prueba de hipótesis asociada al cociente de verosimilitud generalizado asumiendo \(n_1\) y \(n_2\) grandes (usando las propiedades asintóticas) para contrastar:

\[H_0: \mu_1=\mu_2 \quad y \quad \sigma^2_1 = \sigma^2_2 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \mu_1 \neq \mu_2 \quad o \quad \sigma^2_1 \neq \sigma^2_2.\]

2.

Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(Bernoulli(p)\).

1. Demuestre que el cociente de verosimilitud asociado es monótono en la estadística \(T(X_1,...,X_n)=\sum_{i=1}^nX_i\).
2. Indique si existe la prueba uniformemente más potente para contrastar \[H_0: p \le p_0 \quad \quad vs \quad \quad H_a: p > p_0.\] En caso afirmativo, dé la región de rechazo asociada en términos de una constante \(k\), indicando qué debería satisfacer esa constante. Además, en caso afirmativo encuentre el valor de la constante \(k\) usando el Teorema del Limite Central para una significancia \(\alpha\).
3. Encuentre la prueba de hipótesis asociada al cociente de verosimilitud generalizado asumiendo \(n\) grande (usando las propiedades asintóticas) para contrastar: \[H_0: p = p_0 \quad \quad vs \quad \quad H_a: p \neq p_0.\]

3.

Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(Beta(\theta, 1)\).

1. Encuentre la prueba uniformemente más potente para contrastar: \[H_0: \theta \le \theta_0 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \theta > \theta_0.\]
2. Sea \(n=1\). Suponga que se usa la prueba con región de rechazo \(\mathcal{C}=\{x_1 : x_1>1/2\}\) para contrastar \[H_0: \theta \le 1 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \theta > 1.\] Encuentre la función potencia \(\pi(\theta)\), la significancia de la prueba \(\alpha=\sup_{\theta \in \Theta_0} \pi(\theta)\) y la cota de la probabilidad de error tipo II \(\beta=\sup_{\theta \in \Theta_a} 1- \pi(\theta)\).
3. Sea \(n=1\). Encuentre la prueba uniformemente más potente para contrastar: \[H_0: \theta = 1 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \theta = 2 .\] Calcule además la probabilidad de error tipo II \(\beta\).

4.

1. Sea \(X_{1},...,X_{n}\) una m.a. de la distribución \(Beta(\theta, 1)\). Encuentre la prueba de hipótesis asociada al cociente de verosimilitud generalizado asumiendo \(n\) grande (usando las propiedades asintóticas) para contrastar: \[H_0: \theta = \theta_0 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \theta \neq \theta_0.\]
2. Sea \(X_{1},...,X_{n_1}\) una m.a. de la distribución \(Beta(\theta_1, 1)\) y \(Y_{1},...,Y_{n_2}\) una m.a. de la distribución \(Beta(\theta_2, 1)\), ambas muestras aleatorias son independientes entre sí. Encuentre la prueba de hipótesis asociada al cociente de verosimilitud generalizado asumiendo \(n\) grande (usando las propiedades asintóticas) para contrastar: \[H_0: \theta_1 = \theta_2 \quad \quad vs \quad \quad H_a: \theta_1 \neq \theta_2.\]