```{r setup, include=FALSE}
rm(list = ls(all.names = TRUE))
gc()
library(reticulate)
knitr::opts_chunk$set(echo = F, warning = F, message = F, error = F, fig.height = 4, fig.width = 8)
library(xtable)
library(knitr)
library(tidyverse)
library(latex2exp)
options(digits=2)
set.seed(20202)
```

## Características generales del curso 

  - Profesor: Gonzalo Pérez (cubículo 212, Departamento de Matemáticas, gonzalo.perez@ciencias.unam.mx).
  
  
  - Ayudante: Por definir.
  
  
  - Horario: lunes a viernes de 20 a 21 hrs. 
  
  - Salón: O125

  

## Evaluación

  - Tres examenes parciales, dos de ellos son tarea-examen. Cada examen tiene el mismo valor: 1/3 de la calificación.
  
  - El examen teórico será antecedido por una tarea. La tarea se entregará de forma opcional. Se podrá entregar por parejas y SÓLO con calificación mayor o igual a 9 tendrá un valor de un punto adicional al examen parcial correspondiente. 
  
  - Como parte de las tarea-examen, el alumno deberá entregar un reporte escrito y realizar una presentación de los resultados al grupo, así como una breve descripción de los paquetes estadísticos usados. Las tarea-examen se realizarán en equipos, el número de integrantes se definirá de acuerdo con el número de alumnos inscritos.
  
  - **Para aprobar el curso es necesario aprobar el examen teórico.**
  
## Notas sobre la evaluación

  - Se podrá reponer el examen teórico renunciando a la calificación previa obtenida.
  
  - Habrá un exámen final que podrá presentarse de forma opcional renunciando a la calificación final previamente obtenida.
  
  - La calificación se redondea al entero más cercano a partir de 6, de otra forma la calificación es no aprobatoria.
  
  - Se califica con NP en actas únicamente cuando el número de exámenes presentados es menor a 2.
 
## Temas por cubrir en el curso.


- Introducción
  + Descripción de los modelos lineales.
  +  Uso de los modelos lineales generalizados (MLG).
  +  Propiedades de la familia exponencial.
- El modelo lineal
  +  Ajuste por mínimos cuadrados.
      +  Rango completo.
      +  Rango incompleto.
  +  Funciones estimables y sus propiedades.
- El modelo lineal como un MLG con variable de respuesta con distribución normal.
  + Estimadores por máxima verosimilitud.
  + Intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.
  + Modelos con variables explicativas discretas y continuas
      + ANOVA
      + ANCOVA
- Modelos lineales generalizados cuya variable dependiente es un conteo.
  + Regresión Poisson.
  + Estimación de parámetros e interpretación.
- Modelos lineales generalizados cuya variable dependiente es discreta.
  + Regresión logística.
      + Estimación de parámetros e interpretación.
      + Selección de modelos.
  + Otros modelos para respuestas binarias: probit y log-log
  + Modelos para respuestas con más de dos categorías.
- El caso general de un MLG.




### Referencias básicas

- Agresti, A. (2015). *Foundations of linear and generalized linear models.* Wiley.

- Dobson, A. y Barnett, A. (2018). *An introduction to generalized linear models.* CRC Press.

- Faraway, J. (2016). *Extending the Linear Model with R. Generalized Linear, Mixed Effects and Nonparametric Regression Models.* CRC Press.

- Fox, J. (2015). *Applied Regression Analysis and Generalized Linear Models.* Sage Publications, Thousand Oaks, California.

- Searle, S.R. (1971). *Linear Models.* Linear Models. Wiley.

- Seber, G.A.F. y Lee, A. (2003). *Linear Regression Analysis.* Wiley.



# ¿De qué trata el tema de regresión lineal simple?

Tenemos acceso a un conjunto de $n$ observaciones 

$$z_1, ..., z_n.$$

Cada observación es un vector de dos variables, es decir, 

$z_i=(y_i, x_i), i=1,...,n$.

Por ejemplo. Supongamos que se tiene acceso a un conjunto de 32 datos medidos en automóviles; en donde $y_i$ corresponde a las millas por galón que recorre el auto $i-ésimo$ y $x_i$ a su peso. Supongamos que queremos comprar un auto, pero quisieramos saber si es posible reducir costos en gasolina a partir de las características del automóvil. Algunas preguntas que se pueden derivar de estos datos son:

1. ¿A mayor peso del auto se gasta más gasolina? ¿En qué magnitud?
2. ¿La relacion entre el peso del auto y el gasto de gasolina es lineal?

Veamos qué nos dicen los datos!

```{r, echo=TRUE}
str(mtcars)
```

```{r, echo=TRUE}
require(ggplot2)
require(ggiraph)
require(ggiraphExtra)

ggPoints(aes(x=wt,y=mpg),data=mtcars,method="lm",interactive=TRUE)
```

La linea azul corresponde a una recta parametrizada como

$$Y=\beta_1+\beta_2 X$$

Preguntas a resolver durante el curso:

1. ¿Cómo estimar los parámetros de la regresión lineal, $\beta_1, \beta_2$?
2. ¿Cómo verificar que realmente a mayor peso mayor gasto de gasolina?
3. ¿Cómo interpretar los parámetros? ¿Qué propiedades tienen?

En general se puede observar lo siguiente en cuanto a la interpretación de la recta:

![](images/linear-regression.png)


## ¿Qué herramientas computacionales podemos usar?

### Python

Sólo se mostrarán funciones básicas.

```{r, echo=FALSE, include=FALSE}
data(mtcars)
head(mtcars)
```

```{python, echo=TRUE}
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
model = smf.ols('mpg ~ wt', data = r.mtcars).fit()
print(model.summary())
```

### R

También se mostrarán sólo las funciones básicas y será lo prioritario durante las prácticas.

```{r, echo=TRUE}
modelinR = lm('mpg ~ wt', data = mtcars)
print(summary(modelinR))
```

En cualquier caso, el objetivo principal es interpretar las salidas.

# ¿Y si la variable $Y$ no es continúa o no tiene distribución normal?

En regresión lineal simple y múltiple se asume que la variable $Y$ sigue una distribución normal condicional en los valores de las variables explicativas $X_1, ..., X_p$. En particular, se modela lo siguiente

$$E(Y|X_1,..., X_p)= \mathbf{\beta}\mathbf{X}$$


La extensión de este modelo implica considerar que la variable $Y$ puede venir de cualquiera de las distribuciones que pertenecen a la familia exponencial. Por ejemplo

![](images/EjemploFamExp.png)


Además, ahora se modela para cada distribución lo siguiente:

$$g(E(Y|X_1,..., X_p))= \mathbf{\beta}\mathbf{X}.$$

Por ejemplo, para la regresión logística, donde $Y|X_1,...,Xp$ es una $Bernoulli(\pi)$

$$log(\dfrac{\pi}{1-\pi})= \mathbf{\beta}\mathbf{X}.$$

En el curso analizaremos datos considerando los modelos lineales generalizados.


